LOGIKA

Logika

cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataanpernyataan (statements).

LOGIKA PROPOSISI

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).

Secara didenifisikan proposisi adalah Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh :

Proposisi :

1. 6 adalah bilangan genap
2. Ibu kota provinsi jawa barat adalah Semarang
3. Kemarin hari hujan
4. 2 + 2 = 4

Bukan Proposisi :

1. Jam berapa Kereta tiba ?
2. Tolong ambilkan buku tulis itu !
3. X + 3 = 8
4. X ≥ 3

 

 Mengkombinasikan Proposisi

Operator Logika untuk menkombinasikan proposisi yaitu dan, atau dan tidak. Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi yang terbentuk dari pengkombinasian beberapa proposisi atomik disebut proposisi majemuk.

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 penghubung, yaitu: 

Konjungsi    (conjunction) : p dan q dengan  Notasi p Λ q  

Dengan tabel kebenaran sebegai berikut 

Contoh :
p : Hari ini hujan F q : Hari ini dingin T

• p Λ q : Hari ini hujan dan hari ini dingin / hari ini hujan dan dingin

 

Disjungsi (disjunction) : p atau q dengan Notasi  p V q

Dengan tabel kebenaran sebagai berikut

Contoh :

p : ibu pergi ke pasar T

q : ibu belanja sayuran F

p v q : ibu pergi ke pasar atau belanja sayuran

 

a.      C. Ingkaran (negation) : dari p: tidak p dengan Notasi: ~p

Dengan tabel sebagai berikut

Contoh :

p : pemuda itu tinggi

~p : tidak benar pemuda itu tinggi / pemuda     

       itu tidak tinggi.

a.      EXCLUSIVE OR (XOR) (⊕)

Jika dimiliki proposisi p dan q maka EXCLUSIVE OR (XOR) dari proposisi p dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai berikut

Perlu diberi catatan untuk mudah membedakan OR dan XOR adalah pada XOR

hanya kan bernilai TRUE jika dau proposisi bernilai berbeda: T dan F atau F dan T.

a.      IMPLIKASI (→ )

Jika dimiliki proposisi p dan q maka IMPLIKASI p→q (dibaca : JIKA p MAKA q) dari proposisi p dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai berikut

Catatan :

Dalam IMPLIKASI : p → q maka baik p maupun q keduanya adalah proposisi yang dapat bernilai benar atau salah.

 Tabel kebenaran (Truth table)

Untuk mengevaluasi apakah sebuah proposisi majemuk benar atau salah kita perlu tabel kebenaran dari hasil yang ada dalam proposisi tersebut. Untuk sembarang proposisi p dan q, rangkuman tabel kebenaran yaitu:

 

  Hukum-hukum Logika Proposisi

1. Hukum Identas      (i)  p  v   F  ↔ p      (ii) p  Λ   T  ↔ p	2. Hukum null/Dominasi      (i) p  Λ   F  ↔  F      (ii) p  v  T  ↔  T
3. Hukum Negasi     (i)  p  v  ~p  ↔ T     (ii) p  Λ   ~p  ↔ F	4. Hukum idempoten     (i)  p  v  p  ↔ p     (ii) p  Λ   p   ↔ p
5. Hukum Involusi(negasi ganda)     (i)  ~ (~p)  ↔ p	6. Hukum Penyerapan (absorpsi)     (i)  p  v  (p Λ q) ↔ p     (ii) p  Λ  (p v q) ↔ p
7. Hukum komutatif     (i)  p  v  q  ↔ q  v  p     (ii) p  Λ  q   ↔ q Λ  p	8. Hukum assosiatif     (i)  p v (q v r) ↔ (p v q) v r     (ii) p Λ (q Λ r ) ↔ (p Λ q)  Λ  r
9. Hukum Distributif     (i)  p v (q Λ r) ↔ (p v q) Λ (p v r)     (ii) p Λ (q v r ) ↔ (p Λ q)  v  (p Λ r)	10. Hukum De Morgan      (i)  ~(p Λ q) ↔ ~p v ~q      (ii) ~(p v q) ↔ ~p Λ ~q

 

Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan duabuah proposisi.khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah porposisi atomik, maka tabel kebenarannya terdiri dari 2n baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n = 10 terdapat 210 baris di dalam tabel kebenarannya.

Contoh

Tunjukkan bahwa p v ~(p v q) dan p v ~q keduanya ekivalen secara logika

Penyelesaian:

p v ~(p v q )  ⇔p v (~p ^ ~q)                         (Hukum De Mogran)

            ⇔ (p v ~p) ^ (p v ~q)                 (Hukum distributif)

               ⇔T ^ (p v ~q)                             (Hukum negasi)

                           ⇔p v ~q                          (Hukum identitas)

 PROPOSISI BERSYARAT

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p maka q” disebut proposisi bersyarat(implikasi) dan dilambangkan p → q Proposisi p disebut hipotesis (atau anteseden atau premis atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen)

 

Tabel kebenaran

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

 

r  Bi-implikasi

Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jikan dan hanya jika q” disebut bi kondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan p ↔ q.

Tabel kebenaran

p	q	p ↔q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

INFERENSI (KESIMPULAN)

Inferse adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi.

1. Modus Ponen atau Law Of  Detachment

p → q

p

jadi : q

2. Modus Tollen

p → q

~ q

jadi : ~ p

3. Silogisme Hipotesis

p→q

q →r

jadi :p→r

4. Silogisme Disjungtif

p v q

~ p

jadi: q

5. Simplifikasi

p ^q

jadi: p

6. Penjumlahan

p

jadi :p v q

7. Konjungsi

p

q         

jadi : p ^ q