Diberikan dua himpunan A dan B Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A → B
yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.
Jenis Fungsi
Fungsi injektif (injective)
Fungsi f dikatakan one-to-one atau injektif (injective) apabila a dan b anggota himpunan A maka f(a) ≠ f(b) bilamana a ≠ b untuk f(a) dan f(b) anggota himpunan B.
Fungsi injektif (injective)
Fungsi f dikatakan one-to-one atau injektif (injective) apabila a dan b anggota himpunan A maka f(a) ≠ f(b) bilamana a ≠ b untuk f(a) dan f(b) anggota himpunan B
Fungsi bijeksi(bijection)
Fungsi f dikatakan berkorespodensi satu-satu atau bijeksi(bijection) apabila ia fungsi one-to-one dan surjective.
Contoh:
Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)}
dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}
→bijeksi
Fungsi Invers
Apabila f merupakan fungsi berkorespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B maka fungsi tersebut mempunyai invers yaitu f ' y) = x , untuk x ∈ A dan y ∈ B, f ' merupakan invers dari fungsi f.
Komposisi Fungsi
Komposisi dari dua fungsi f dan g dinyatakan f°g, f merupakan fungsi yang memetakan anggota himpunan A ke himpunan B dan fungsi g memetakan anggota himpunan B ke himpunan C. Fungsi dari himpunan A ke himpunan C didefinisikan f° g(x) = f( g(x)), x ∈ A
Beberapa Fungsi Khusus
Fungsi Floor (batas bawah)
Batas bawah dari x adalah bilangan bulat terbesar yang kecil dari atau sama dengan x. Dengan notasi └ ┘ Contoh:
└8.3┘ = 8
└-8.7┘ = -9
Fungsi Ceiling (batas atas)
Batas atas dari x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Dengan notasi ┌ ┐
Contoh:
┌ 6 ┐ = 6 Г-11.3˥ = -11
Г 9 ˥ = 10 Г-8˥ = -8
Fungsi Modulu
Jika x adalah bilangan bulat tak negatif dan y adalah bilangan bulat positif, didefinisikan x mod y sebagai sisa jika x dibagi y.
Contoh:
6 mod 2 = 0
5 mod 1 = 0
8 mod 12 = 8
199673 mod 2 = 1
Fungsi Faktorial
Untuk sembarang bilangan bulat non negatif n, faktorial dari n dilambangkan dengan n ! yang didefinisikan
0! didefinisikan 1
Contoh:
1! = 1
2! = 2.(2-1) = 2
3! = 3. (3-1) (3-2) = 6
dst
n! = n. (n-1) !
Fungsi EksponsialFungsi eksponensial berbentuk :
Untuk kasus perpangkatan negatif :
Contoh :
43 = 4 x 4 x 4 = 64
4-3 = 1/64
Fungsi Logaritmik
Fungsi logaritmik berbentuk:
Contoh :
4log 64 = 3 karena 64 = 43
ë 2log 1000û = 9 karena 29 = 512 tetapi 210 = 1024
Fungsi Rekursif
Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.
Fungsi rekursif disusun oleh 2 bagian :
Basis
Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri.
Bagian ini menghentikan definisi rekursif (dan memberikan sebuah nilai yang terdefinisi pada fungsi rekursif)
Rekurens
Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri
Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis)
Misalkan f(n) = n! maka fungsi faktorial dapat dituliskan sebagai :
Contoh I:
Perhitungan n! secara rekursif :
Basis
n! = 1 jika n = 0
Rekurens
n! = n x (n-1)! Jika n > 0
Contoh :
5! = 5 x 4! (rekurens)
4! = 4 x 3!
3! = 3 x 2!
2! = 2 x 1!
1! = 1 x 0!
0! = 1
Sehingga :
0! = 1
1! = 1 x 0! = 1 x 1 = 1
2! = 2 x 1! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2! = 3 x 2 = 6
4! = 4 x 3! = 4 x 6 = 24
5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120
Jadi 5! = 120
Contoh II:
Misalkan n menyatakan bilangan bulat positif dan fungsi f didefinisikan secara rekursif :
Tentukan :
f(25)
f(10)
Penyelesaian :
f(25) = f(ë25/2û)+1 = f(12) + 1
= [f(ë12/2û)+1] + 1 = f(6) + 1 + 1 = f(6) + 2
= [f(ë6/2û)+1 ] + 2 = f(3) + 1 + 2 = f(3) + 3
= [f(ë3/2û)+1 ] + 3 = f(1) + 1 + 3 = f(1) + 4
= 0 + 4 = 4
f(10) = f(ë10/2û)+1 = f(5) + 1
= [f(ë5/2û)+1] + 1 = f(2) + 1 + 1 = f(2) + 2
= [f(ë2/2û)+1 ] + 2 = f(1) + 1 + 2 = f(1) + 3
= 0 + 3 = 3
0 komentar:
Posting Komentar