Boolean Matematika Distrik

Definisi Boolean

Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operasi biner, Ʌ dan V , dan sebuah operasi binary, dinotasikan ‘; misalkan 0 dan 1 menyatakan dua elemen yang berbeda dari B. maka sextuplet

      (B, Ʌ , V , ‘, 0, 1)

disebut aljabar Boolean jika aksioma-aksioma berikut berlaku untuk setiap elemen x, y, z dari himpunan B:
1. Untuk setiap x dan y dalam B, ( hukum kumutatif)
    x v y = y v x
     x ᴧ y = y ᴧ x

2. Untuk setiap x, y, dan z dalam B, ( hukum distributif)
    x ᴧ ( y v z) = ( x ᴧ y) (x ᴧ z)
    x v ( y ᴧ z) = ( x v y) ᴧ (x v z)

3. Untuk setiap x dalam B,( hukum identitas)
    x v 0 = x
    x ᴧ 1 = x

4. Untuk setiap x dalam B, ( hukum negasi)
    x v x’ = 1
    x ᴧ x’ = 0

5. Untuk setiap x, y, dan z dalam B, ( hukumAsosiatif)
    (x v y) v z = y v (x v z)
    (x ᴧ y) ᴧ z = y ᴧ (x ᴧ z)

Ekspresi Boolean
Misalkan (B, +, ∙ , ’) adalah sebuah aljabar Boolean.
Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ∙ , ’) adalah:
(i)   Elemen di dalam B, ex : 0 dan 1
(ii) Peubah / literal / variabel, ex : a , b, c
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 ∙ e2, e1’ adalah ekspresi Boolean.

Contoh:
        0
        1
        a
        b
        a + b
        a ∙ b
        a’∙ (b + c)
        a ∙ b’ + a ∙ b ∙ c’ + b’, dan sebagainya

Mengevaluasi Ekspresi Boolean
Contoh : a’ ∙ (b + c)
              Jika a = 0, b = 1 dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi
              0’ ∙ (1 + 0) = 1 ∙ 1 = 1

Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (di lambangkan dengan ‘=’) jika keduanya bernilai sama untuk setiap nilai-nilai pada n peubah.

Contoh : a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c)
# Catatan : tanda titik (∙) dapat hilang dari penulisan ekpresi Boolean, kecuali :
(i)    a(b + c) = ab + ac
(ii)    a + bc = (a + b) (a + c)
(iii)    a ∙ 0 , bukan a0

Prinsip Dualitas
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator
+, ∙ , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
                       ∙ dengan +
                      + dengan ∙
                      0 dengan 1
                      1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
Contoh:
(i)   (a ∙ 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 ∙ a’) = 1
(ii) a(a‘ + b) = ab       dualnya a + a‘b = a + b

Hukum-hukum Aljabar Boolean

Contoh:
Buktikan (i) a + a’b = a + b   dan   (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:
    (i)     a + a’b     = (a + ab) + a’b        (Penyerapan)
            = a + (ab + a’b)        (Asosiatif)
            = a + (a + a’)b        (Distributif)
            = a + 1 • b         (Komplemen)
            = a + b            (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)

Fungsi Boolean
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
        f : Bn → B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 ∙ 0 ∙ 1 + 1’ ∙ 0 + 0’∙ 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Bentuk Kanonik
Ada 2 macam bentuk Kanonik:
1. Penjumlahan dari hasil kali (Sum Of Product / SOP)
Contoh :   f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
           Setiap suku (term) disebut minterm

2. Perkalian dari hasil jumlah (Produck Of Sum / POS)
Contoh : g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
                   (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)
           Setiap suku (term) disebut maxterm

Konversi Antar Bentuk Kanonik
Misalkan
f(x, y, z)    = ∑ (1, 4, 5, 6, 7)

dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,

f ’(x, y, z) = ∑ (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3

Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

    f ’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’
               = m0’ . m2’ . m3’
                     = (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’
            = (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)
            = M0 M2 M3
            = ∏ (0,2,3)

Jadi, f(x, y, z) = ∏ (1, 4, 5, 6, 7) = ∏ (0,2,3).

Kesimpulan: mj’ = Mj

Aplikasi Aljabar Boolean

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

Saklar adalah objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.

Tiga bentuk gerbang paling sederhana:

Rangkaian Digital Elektronik

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh.     f(x, y) = x’y + xy’ + y’

disederhanakan menjadi

f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:
1. Secara Aljabar
Contoh :
f(x,y,z) = xy + x’z + yz
       = xy + x’z + yz(x + x’)
       = xy + x’z + xyz + x’yz
       = xy (1 + z) + x’z(1 + y)
       = xy + x’z

2. Menggunakan Peta Karnaugh
    Peta Karnaugh dengan 2 Peubah